洛谷 P2573 [SCOI2012] 滑雪题解

前言

调了一个下午终于弄出来了！！！

~~最近开始毛616的CG当封面偷懒了qwq~~

题目

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[SCOI2012] 滑雪

题目描述

a180285 非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着 $m$ 条供滑行的轨道和 $n$ 个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号 $i\space (1 \le i \le n)$ 和一高度 $h_i$ 。

a180285 能从景点 $i$ 滑到景点 $j$ 当且仅当存在一条 $i$ 和 $j$ 之间的边，且 $i$ 的高度不小于 $j$ 。与其他滑雪爱好者不同，a180285 喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。

于是 a18028 5拿出了他随身携带的时间胶囊。这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是 a180285 滑行的距离）。

请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。现在，a180285站在 $1$ 号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？

输入格式

输入的第一行是两个整数 $n,m$ 。
接下来一行有 $n$ 个整数 $h_i$ ，分别表示每个景点的高度。

接下来 $m$ 行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行三个整数 $u,v,k$ ，表示编号为 $u$ 的景点和编号为 $v$ 的景点之间有一条长度为 $k$ 的轨道。

输出格式

输出一行，表示 a180285 最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

3 2

提示

【数据范围】
对于 $ 30% $ 的数据，$ 1 \le n \le 2000 $；
对于 $ 100% $ 的数据，$ 1 \le n \le 10^5 $。

对于所有的数据，保证 $ 1 \le m \le 10^6 $ , $ 1 \le h_i \le 10^9 $ ，$ 1 \le k_i \le 10^9 $。

题解

首先不难想到这是一个最小生成树题目：a180285 从点 1 出发，他希望遍历尽可能多的点且他可以回退，需要求此时代价最小路径的长度。

考虑使用 Kruskal 或 Prim 算法，因为 Kruskal 编码比较简单，遂采用该算法。

因为多个滑雪站之间只有高度较高的才能前往高度较低的站点，即对于任意 $G(V,E)$ ，当 $i,j\in V$ 时且 $h_i\ge h_j$ 时才存在 $(i,j)\in E$ ，所以我们需要根据 $h_u$ 和 $h_v$ 的关系来确定需要添加的边。

然后我们从起点 1 开始执行 BFS （DFS也可），算出从起点出发最多可以到达的顶点个数 $tot$ 。

为了方便，我开了一个前向星（纠正：因本蒟蒻之前的理解偏差，这并不叫做前向星，叫做存边数组差不多）和一个邻接表分别用于 Kruskal 和 BFS（都是打的 vector qwq）。

接下来排序并执行 Kruskal。排序需要注意一点：直接根据每一条边的权值 $w$ 排序的贪心策略是错误的，可以考虑这么一种情况：

这是一张图，其中每个节点上面的 $vx$ 表示编号， $h: x$ 表示高度，边上的数字表示权值。如果我们按照边权排序后选择的话，就会选到 $(4,3)=1$ , $(1,3)=4$ 和 $(1,2)=4$ ，即上面描红了的边。然而这是无向图，我们就会发现 $v1$ 并不能到达 $v4$ ，然而我们要是选择了 $(1,4)=11$ ，虽然代价稍大，但是可以保证选到最多的点。

因为高度呈降序排列，前面的点一定可以到达后面的点，所以我们在高度上贪心取最小值即可保证尽可能选到多的点，当然高度一样时肯定也需要取权值较小的。

有几个坑：

坑 1：注意 BFS 时的 vis 数组，处理 Kruskal 时如果 !vis[u]||!vis[v] 时需要跳过（因为无法走到）。

坑 2：建边处理高度时需要同时考虑开的一个前向星和一个邻接表，不能少一个，否则必爆 0 ~ 18。

坑 3：处理 Kruskal 时，如果 cnt==tot-1 即已遍历边数已经形成树形结构时就得 break 了。

那么代码就很简单了（但是注意有很多坑+没看注释导致的CE）

代码

偷懒，所以用了新特性，注意开 C++20以上。

注释版

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 见祖宗+偷懒
using namespace std;
int n,m,fa[100005],tot=1,ans,vis[100005],h[100005];
struct node {int x,y,w,h;}; // 前向星，存起点终点和高度
vector<node> star; // 前向星
vector<int> lst[100005]; // 邻接表
queue<int> q; // BFS用
inline void add(int u,int v,int w){
    if(h[u]>=h[v]) // 根据高度情况考虑，注意两点高度相等时也可滑过
        star.push_back({u,v,w,h[v]}), // 前向星建图
        lst[u].push_back(v); // 邻接表建图
    if(h[u]<=h[v]) // 同上
        star.push_back({v,u,w,h[u]}),
        lst[v].push_back(u);
}
inline int find(int x){ // 三目表达式版简化find函数
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0); // 关流同步，卡常（实际上题目给的5秒够用）
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i],fa[i]=i; // 初始化
    for(int i=1,u,v,c;i<=m;i++)
        cin>>u>>v>>c,add(u,v,c); // 加边
    q.push(1),vis[1]=1; // BFS部分，起点入队
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(auto &it:lst[u])
            if(!vis[it]) // 计算可到达次数
                vis[it]=1,tot++,q.push(it);
    }
    sort(star.begin(),star.end(),[](node a,node b){
        return a.h==b.h?a.w<b.w:a.h>b.h;
    }); // 注意需要按高度排序，具体见TJ.
    // 这里用了C++11新特性lambda表达式，可以内联进参数里面
    for(int cnt=0;auto it:star){ // 遍历前向星跑 Kruskal
        // 这里的初始化cnt偷懒用了C++20新特性在范围循环初始化
        if(vis[it.x]&&vis[it.y]){ 
            int x=find(it.x),y=find(it.y); // 并查集板子
            if(x==y) continue;
            fa[x]=y,cnt++,ans+=it.w; // 算答案
            if(cnt==tot-1) break; // 边界条件，见TJ
        }
    }
    cout<<tot<<" "<<ans;
    return 0;
}

无注释版

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m,fa[100005],tot=1,ans,vis[100005],h[100005];
struct node {int x,y,w,h;};
vector<node> star;
vector<int> lst[100005];
queue<int> q;
inline void add(int u,int v,int w){
    if(h[u]>=h[v])
        star.push_back({u,v,w,h[v]}),
        lst[u].push_back(v);
    if(h[u]<=h[v])
        star.push_back({v,u,w,h[u]}),
        lst[v].push_back(u);
}
inline int find(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i],fa[i]=i;
    for(int i=1,u,v,c;i<=m;i++)
        cin>>u>>v>>c,add(u,v,c);
    q.push(1),vis[1]=1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(auto &it:lst[u])
            if(!vis[it])
                vis[it]=1,tot++,q.push(it);
    }
    sort(star.begin(),star.end(),[](node a,node b){
        return a.h==b.h?a.w<b.w:a.h>b.h;
    });
    for(int cnt=0;auto it:star){
        if(vis[it.x]&&vis[it.y]){
            int x=find(it.x),y=find(it.y);
            if(x==y) continue;
            fa[x]=y,cnt++,ans+=it.w;
            if(cnt==tot-1) break;
        }
    }
    cout<<tot<<" "<<ans;
    return 0;
}